W dobie dzisiejszych zmian edukacyjnych - duży nacisk kładziony jest na nauczanie prowadzone w sposób empiryczny, doświadczalny, obrazowy dla uczniów, którzy sami dochodzą do wniosków stanowiących przedmiot nauczania i tu przykład zadania proponowanego przez Marię Dobrowolską autorkę podręcznika "Matematyka z plusem" do nauczania matematyki w klasie czwartej:

zad. Weź prostokątna kartkę papieru i złóż ją na pół, a potem jeszcze raz na pół. Rozwiń kartkę. Ile małych prostokątów otrzymałeś? Ile prostokątów otrzymasz, gdy złożysz kartkę na pół trzykrotnie, a ile, gdy czterokrotnie? Ile razy należy złożyć kartkę, aby otrzymać 64 prostokąty? Wyniki zapisz za pomocą potęg.

I to w zasadzie wszystko, na co należy zwrócić szczególną uwagę uczniów klasy czwartej. Oczywiście na tym etapie powinno się ćwiczyć z uczniami różne obliczenia pamięciowe, a więc i obliczanie wartości potęg właśnie w pamięci. Niemniej jednak zadania typu: Jakimi liczbami należy uzupełnić kwadraty:

są na tym etapie oznaczane jako ,zadania z gwiazdką", czyli o podwyższonej skali trudności, dla uczniów szczególnie zdolnych lub zainteresowanych przedmiotem. Żadnych problemów z ich obliczaniem nie mają natomiast uczniowie klas wyższych, np. klasy piątej, którzy podnoszą już do kwadratu i sześcianu ułamki zwykłe a także dziesiętne oraz wykorzystują wiadomości o potęgach na lekcjach o kolejności wykonywania działań. Tutaj uczniowie mogą już posługiwać się kalkulatorem do obliczania trudniejszych działań. Potrafią też rozwiązywać proste zadania tekstowe przy użyciu potęg o wykładniku naturalnym. Nadal nie znają na tym etapie nazewnictwa liczb w potęgowaniu oraz pełnej definicji potęgowania. Te wiadomości jak i pierwsze twierdzenia związane z wykonywaniem działań na potęgach poznają dopiero w klasie szóstej, choć nie wszystkie programy nauczania obejmują te zagadnienia. W większości dotyczą one tylko definicji potęgi jako iloczynu n takich samych czynników równych a, gdzie n jest liczbą naturalną. Jako uzupełnienie do tej definicji podaje się jeszcze dwa szczególne przypadki potęgi zerowej i potęgi pierwszej, czyli definicja podawana uczniom ma postać:

Uczniom przypominane są też wiadomości jakimi wzorami wyrażone jest pole kwadratu, którego bok ma długość a oraz objętość sześcianu, którego krawędź ma długość a. Poznają nazwy liczb w potęgowaniu, a więc wiedzą już co to jest podstawa i wykładnik potęgi. Odpowiednie ich używanie przez uczniów wymaga oczywiście serii ćwiczeń, których pod dostatkiem dostarczają podręczniki i zeszyty ćwiczeń. Nie we wszystkich, choć w większości podawane są też uczniom własności potęg o wykładniku naturalnym. Uczeń po klasie szóstej powinien więc umieć mnożyć i dzielić potęgi o tej samej podstawie. Wprowadzenie tych własności nie jest zadaniem trudnym dla nauczyciela. Wystarczy bowiem zapisać odpowiednie przykłady i pozwolić uczniom na samodzielne wyciągnięcie wniosków, zapisując np. następujące działania:

Po takich przykładach uczeń powinien już zauważyć, że mnożąc dwie potęgi o tych samych podstawach otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie i wykładniku będącym sumą wykładników liczb mnożonych. Podobnie dla ilorazu - uczeń powinien zauważyć, ze dzieląc przez siebie dwie potęgi o tej samej podstawie, otrzymuje potęgę o tej samej podstawie, której wykładnik jest różnicą wykładników dzielonych potęg. Takie sformułowanie tej własności ułatwi zapewne przykład typu:

Opanowanie przez uczniów tych wiadomości oraz sprawne posługiwanie się nimi wymaga wielu przykładów, najlepiej zróżnicowanych. Uczeń musi w jakiś sposób przestawić swój punkt widzenia, że to wynik jest najważniejszy - a więc jakaś konkretna liczba - na bardziej ogólne spojrzenie obejmujące możliwość krótszego zapisu czasem bardzo długich i żmudnych w obliczeniach iloczynów i ilorazów tych samych liczb. I tu dużą rolę odgrywają działania łączne na liczbach naturalnych. Obliczanie wartości dłuhich wyrażeń stanowi doskonałą formę utrwalenia i usystematyzowania tych własności dla potęg. W większości programów nauczania dla klas szóstych przewidziane jest również wprowadzenie notacji wykładniczej. Jest to tym bardziej uzasadnione, gdyż zapisy potęg o podstawie 10 są przez uczniów stosowane na innych przedmiotach, np. fizyce. Przy okazji uczeń może zostać zapoznany z nazwami liczb większych, zakończonych przykładowo 18 czy większą liczbą zer. Są to wiadomości, których uczeń nie musi znać na pamięć, podawane jako ciekawostka. Na tym etapie kształcące są również zadania typu: Porównaj liczby i uzasadnienia ich wyników, kiedy to uczeń musi zwrócić uwagę na wielkość podstawy bądź wykładnika danej potęgi. Takie zadania wykonywane są też przez uczniów na drugim etapie kształcenia, a więc przez uczniów gimnazjum. To właśnie oni poznają w pierwszej klasie swojej nauki resztę podstawowych własności działań na potęgach, a więc twierdzenia o mnożeniu i dzieleniu potęg o tych samych wykładnikach i potęgowaniu potęgi. Własności te nie są jednak w większości podręczników podawane jako twierdzenia, co jest związane z faktem, ze uczeń nie wie jeszcze czym w zasadzie jest twierdzenie - nie zna pojęcia prawdy matematycznej. Na tym poziomie kształcenia wprowadzane są też potęgi o wykładniku ujemnym. I tu rozciąga się cały wachlarz możliwości jeśli chodzi o zadania tekstowe. Są one o tyle pouczające i ciekawe dla uczniów, że wiążą w jakiś sposób pojęcia ściśle matematyczne z innymi dziedzinami wiedzy, np. fizyka, astronomią, geografią czy chemią. I tu kilka przykładów takich właśnie zadań:

zad. Litwa, państwo w Europie Wschodniej, położone nad Morzem Bałtyckim ma powierzchnię 65,2 tys. km2. Liczy 3,7 mln mieszkańców. Zapisz podane wielkości w notacji wykładniczej.
zad. Litwę zamieszkują głównie Litwini - stanowią oni 81 % wszystkich mieszkańców. Pozostałe narodowości stanowią odpowiednio:
- Rosjanie 8 %,
- Polacy 7 %,
- inni 4 % (Białorusini, Ukraińcy, Żydzi, Łotysze).
Wiedząc, że liczba ludności Litwy stanowi obecnie ok. 3,7 mln mieszkańców, oblicz liczbę ludności poszczególnych narodowości. Wyniki podaj w postaci notacji wykładniczej.
zad. Światło w próżni pokonuje w ciągu godziny odległość około 1,08 • 10⁹ km. Zapisz w postaci iloczynu potęg odległość, wyrażoną w km, którą światło pokonuje w ciągu jednej doby.
zad. Zapisz, stosując potęgi masę: Słońca - około 1.989.000.000.000.000.000.000.000.000.000 kg, Ziemi - około 5.973.000.000.000.000.000.000.000 kg oraz masę Księżyca wynoszącą około 73.470.000.000.000.000.000.000 kg. Następnie oblicz stosunek masy Księżyca do masy Ziemi, dalej stosunek masy Księżyca do masy Słońca oraz masy Ziemi do masy Słońca.
zad. W 1974 roku wydobyto we wszystkich krajach 1,313 • 109 m³ ropy naftowej, a w roku 1965 zaledwie 703 • 106 m³. Ile razy więcej ropy naftowej wydobyto w 1974 roku niż w 1965 roku? Jak sądzisz z jaką dokładnością należy podać ten wynik? Odpowiedź uzasadnij.

Działania na potęgach można wykorzystywać do rozwiązywania wielu różnych typów zadań i to zarówno tych zadań z treścią jak i zwykłych obliczeniowych. I tu przykłady zadań krótkich a kształcących dla uczniów:

zad. 1. Zapisz milion za pomocą trzech cyfr.
zad. 2. Ile cyfr ma liczba 10⁵⁷?
zad. 3. Jaka jest ostatnia cyfra liczby 10²⁹?
zad. 4. Ile wynosi suma cyfr liczby o 1 mniejszej od 10⁸?

Dobrą formą utrwalenia wiadomości dodatkowo jeszcze ciekawą dla uczniów może być uzupełnienie niniejszego diagramu. Do jego wykonania wystarczają wiadomości uczniów z klasy I gimnazjum.

Na poziomie szkoły gimnazjalnej uczeń powinien już w sposób świadomy korzystać z tego narzędzia matematycznego jakim są potęgi. Oczywiście ważna jest tu postawa prowadzącego zajęcia, który może zachęcić ucznia do twórczej pracy jak i całkowicie zniechęcić go do danego działu a czasem nawet całego przedmiotu, który ten dział obejmuje. W większości programów nauczania wszystkie wiadomości o potęgach są w pełni podawane w klasie I gimnazjum, w klasie drugiej mamy do czynienia tylko z pojedynczymi przykładami potęgowania przy okazji wyrażeń algebraicznych, natomiast w klasie III następuje powtórzenie wiadomości z klas poprzednich a więc także wiadomości o potęgach. I tu znowu dużo zależy od nauczyciela, który powinien dokonywać wszelkich powtórek w sposób sprawny, ale i dokładny, gdyż poznane w gimnazjum wiadomości stanowią podstawę nauki matematyki w szkołach średnich. Podsumowując, można powiedzieć, że potęgowanie liczb nie jest trudnym działem w matematyce, choć są uczniowie, którzy mają duże trudności z jego opanowaniem. Jest to jednak jedno z tych zagadnień, którego można się nauczyć przy odrobinie dobrej woli i samozaparciu w wykonywaniu ćwiczeń. Ich urozmaicona forma wpływa korzystnie na zainteresowanie ucznia przedmiotem i rozwija jego twórcze myślenie, stąd w przedstawianej pracy tyle przykładów zadań obrazowych i twórczych.

Więcej:

• Dobrowolska M., Matematyka z plusem., Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe., Gdańsk 2000.
• Kukla M., Serafin St., Matematyka 6., Wydawnictwo Kleks., Warszawa 1997.
• Lewicka H., Rosłon E., Matematyka wokół nas., WSiP., Warszawa 1999.
• Łęski S., Durydiwka St., Od Pitagorasa do Euklidesa- III Gimnazjum., Oficyna Wydawniczo-Poligraficzna "ADAM"., Warszawa 2001.
• Autorski program nauczania matematyki w szkole podstawowej i gimnazjum - Od Pitagorasa do Euklidesa - Oficyna Wydawniczo-Poligraficzna "ADAM"., Warszawa 1999.
• Program Nauczania matematyki w szkole podstawowej - Matematyka wokół nas - WSiP., Warszawa 1999.