Fraktal - co to takiego?

Fraktalem na płaszczyźnie nazywamy dowolny niepusty i zwarty podzbiór płaszczyzny X.
Fraktal od łacińskiego słowa fractus- "złamany, poszarpany" to figura geometryczna o złożonej strukturze, nie będąca krzywą, powierzchnią, ani bryłą w znaczeniu geometrii klasycznej, mająca wymiar ułamkowy.
Benoit Mandelbrot (twórca teorii fraktali) twierdził, że fraktalem jest wszystko; natomiast figury typu: prostokąt, koło, trójkąt są sztucznie wymyślone przez ludzi w celu uproszczenia opisu otaczającego nas świata. Twierdził on, że figury takie nie mają odpowiedników w rzeczywistości. Ten sam autor w swojej książce Fractal Geometry of Nature podaje trzy główne własności fraktali:

• nie są określone wzorem matematycznym, a co najwyżej zależnością rekurencyjną,
• mają cechę samopodobieństwa,
• są obiektami, których wymiar nie jest liczbą całkowitą.

Samopodobieństwo polega na tym, że fraktale nie mają żadnej wyróżnionej skali, są takie same przy dowolnym powiększeniu, tzn.: dowolny kawałek zbioru jest podobny do całości. Wymiar fraktala jest zawsze większy od jego wymiaru topologicznego, jest liczbą niecałkowitą, na przykład krzywa Kocha to "więcej" niż jednowymiarowa linia, a "mniej" niż dwuwymiarowa powierzchnia.

Najpopularniejsze fraktale:

Zbiór Cantora


Krzywa Kocha



Dywan Sierpińskiego

Więcej:

• E. Castelnuovo, Fraktały - temat interdyscyplinarny, Matematyka 5 (1990), s. 239 -242.
• B. Kastory, Czy Bóg gra w kości, Newsweek z 26.02.2006 r, s. 68-74.
• J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, Wydawnictwo Naukowo - Techniczne, Warszawa 1993.
• K. Omijanowski, Fraktale liczbowe, Matematyka 4 (1995), s. 226 -228.
• H.-O. Peitgen, H. Jurgenes, D. Saupe, Granice chaosu. Fraktale, cz.I. i II., Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.
• M. Tempczyk, Fraktale, czyli poszarpana geometria, Matematyka 4 (1995), s. 226-228.
• Internetowa galeria fraktali www.galeriafaktali.com.pl.