Algebra zaczyna się od niewiadomych i kończy się na niepoznawalnych*.
Anonimus
Algebra jest jedyną dyscypliną matematyki o pochodzeniu pozaeuropejskim, gdyż jej początki przypisuje się cywilizacji arabskiej. Z biegiem lat algebra rozrosła się do tego stopnia, że stała się uniwersalnym językiem i narzędziem całej matematyki. Początkowo przedmiotem jej badań było rozwiązywanie równań. Autorem pracy z 1799 r. o istnieniu rozwiązań równań algebraicznych był Carl Frierdrich Gauss. Rezultatem tezy doktorskiej pracy Gaussa jest podstawowe tw. algebry, które głosi, że:
Każdy wielomian (stopnia większego od zera) o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek zespolony**.
Własność tę nazywamy dziś algebraiczną domkniętością, z uwagi na to, że uzupełnia znany wcześniej zbiór liczb rzeczywistych o liczby zespolone, interpretowane jako punkty na płaszczyźnie. Zanim przejdziemy do omawiania dalszych genialnych odkryć Gaussa warto powiedzieć parę słów o samym ich autorze.
Carl Friedrich Gauss - (1777 - 1855), jeden z najwybitniejszych matematyków wszechczasów, geniusz, pochodzący z Brunszwiku, gdzie rozpoczynał swoje kształcenie. Opiekunem młodego Gaussa był Barteles - starszy od niego student. On też przedstawił utalentowanego Gaussa księciu Fryderykowi II, który zachwycony lotnością umysłu młodego studenta, ufundował mu stypendium. Wsparcie tego typu umożliwiło Gaussowi ukończenie studiów i zdobycie doktoratu. Dalej Gauss studiował w Getyndze. Były to lata 1795-98. Gauss kojarzony jest dziś przede wszystkim z matematyką, choć nigdy nie pracował jako matematyk, a jako dyrektor obserwatorium astronomicznego w Getyndze. Jego nazwiskiem nazwana została jednostka magnetyzmu, siatka geograficzna, według której sporządzane są mapy wojskowe, a także prestiżowa nagroda astronomiczna. Jako człowiekowi nauki nadana mu została godność rządowa tajnego radcy.
Gauss prowadził dziennik swoich prac, dzięki czemu wiemy dość dużo o wynikach jego badań. Właśnie z dzienników dowiadujemy się o pierwszym wielkim wyniku pracy Gaussa nad liczbami zespolonymi. Uzyskał go 29. 03. 1796 r. i dotyczył on konstrukcji siedemnastokątna foremnego. Wiąże się z tym również anegdota, wg której Gauss zażyczył sobie, żeby na jego grobie nie było żadnych napisów a tylko wycięty w kamieniu siedemnastokąt foremny. I rzeczywiście Gauss ma na grobie liczne napisy i aby nie było całkiem wbrew jego woli, ma też siedemnastokąt w podstawie stojącego na grobie obelisku.
Fenomen Gaussa jest doceniany do dziś i to nie tylko przez osoby zajmujące się naukami ścisłymi. W ramach ciekawostki warto zaznaczyć, że Niemcy wprowadzili postać Gaussa na jednym ze swoich banknotów: 10 markach niemieckich. Oprócz portretu Gaussa na banknocie umieszczona też została gaussowska krzywa:
Prace Gaussa dały impuls do kolejnych prób znalezienia sposobu rozwiązywania równań algebraicznych stopnia wyższego niż cztery. To on sformułował ogólne twierdzenie o konstruowalności wielokątów foremnych, które głosi, że:
n-kąt foremny jest konstruowany cyrklem i linijką wtedy i tylko wtedy, gdy n jest postaci: 2m* p1 * p2 * pi, gdzie pi są różnymi pierwszymi liczbami Fermata***.
Było to niezwykłe odkrycie rzutujące na rozwiązalność słynnych problemów starożytności. Ten warunek konstruowalności Gauss sformułował opierając się na własnych pracach naukowych oraz spostrzeżeniach Euklidesa. Mimo sformułowania tego twierdzenia w pełnej ogólności Gauss udowodnił tylko, że podany przez niego warunek jest dostateczny. Jego konieczność udowodnił dopiero Wantzel w 1837 r. Twierdzenie Gaussa wymagało znajomości liczb pierwszych Fermata, których do dziś znamy jedynie pięć: 3, 5, 17, 257, 65537. Mimo to Gauss opisywał n-kąty foremne, dla których istnieje konstrukcja platońska, ale - i tu pojawia się pewien niedosyt, nie pokazywał konstrukcji tych wielokątów. W wyniku tego wielu późniejszych uczonych próbowało zastosować w praktyce gaussowskie twierdzenie i to zrodziło nowy nurt w matematyce.
Gauss w swoim Dzienniku pod datą 19. 08. 1796 r. odnotował też inny podstawowy fakt dla pierścienia wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach liczbowych:
Jeżeli wielomiany P i Q są względnie pierwsze, to istnieją takie wielomiany t i u, że t * P + u * Q = 1 ****.
Dziś niemal cała arytmetyka pierścienia wielomianów jest konsekwencją właśnie tego twierdzenia. Gauss opisał też wzór na mnożenie punktów czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej. Konstrukcja ta miała służyć do opisu składania obrotów przestrzeni trójwymiarowej.
Warte podkreślenia są też słowa samego Gaussa wskazujące na to, jak on sam postrzegał nauki ścisłe i ich rolę w społeczeństwie:
Braki wykształcenia matematycznego dają się odczuć najlepiej u ludzi przywiązujących wagę do nadmiernej biegłości w rachunku liczbowym?*****
C.F.Gauss
Podsumowując należy stwierdzić, że czasy Gaussa przyniosły geometryczną interpretację liczb zespolonych jako punktów płaszczyzny. W samej algebrze oprócz grupy istotną rolę w czasach Gaussa zaczęły odgrywać obiekty formalnie definiowane, tj.: liczby zespolone, kwaterniony, przestrzenie liniowe, macierze. Wprowadzone zostały też takie pojęcia jak: przemienność, łączność, rozdzielność mnożenia względem dodawania. Ogólnie można więc powiedzieć, że algebra czasów Gaussa przestała już być wyłącznie algebrą wielomianów. Konsekwencją tego jest fakt, że na początku XIX w. algebra pojawiała się głównie na wykładach z geometrii i analizy matematycznej. Ten kierunek zmian zawdzięczamy dziś przede wszystkim genialnym odkryciom Carla Friedricha Gaussa. Słuszne wydają się też w tym miejscu następujące słowa:
Algebra jest tą matematyki częścią, w której używa się znaków dla skrócenia i uogólnienia rozumowań, prowadzących do rozwiązywania podań liczbowych, ale nie tylko?******
M.Burdon
(ze wstępu do jego "Zasad Algebry" z r. 1828, w tłum. W. Józefowicza.)
Więcej: